Research on Modeling of High Efficiency and High Precision Double Curved Reflector Antenna
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摘要:
双弯曲反射面天线通过设计合理的中截线并使用焦点带公式构造出满足反射要求的焦点带曲线。在建模中，中截线数据构造的焦点带曲线越密集，形成的反射面曲率就越连续，构造的曲面和理论面之间的偏差就越小，但偏差优化会导致建模工作量剧增。采用基于Creo的参数化阵列设计方法，可高效实现数百条焦点带曲线的建模，仅需调整中截线Excel数据表及少量参数即可完成模型的快速修改。文中通过图形化的曲面曲率分析和反射面曲面精度量化分析，提出了双向曲线约束方法，解决了数据输入精度不足及单向曲线约束导致的曲率不连续和偏差过大的问题，最终实物反射面的面精度均方根误差为0.194 mm，满足面精度均方根误差δRMS≤0.35 mm的设计指标。
Abstract:The double curved reflector antenna constructs the focus band curve which meets the reflection requirements by designing a reasonable middle section and using the focus band formula. In modeling, the denser the focus band curve constructed by the mid-section data is, the more continuous the curvature of the reflection surface is and the smaller the deviation between the constructed surface and the theoretical surface is, but the deviation optimization will lead to a sharp increase of modeling workload. With the parametric array design method based on Creo, the modeling of hundreds of focus curves can be realized efficiently, and the model can be quickly modified by adjusting the mid-cut Excel data table and a small number of parameters. In this paper through the graphical curvature analysis and quantitative analysis of the reflector surface accuracy, a bi-directional curve constraint method is proposed, which solves the problems of curvature discontinuity and excessive deviation caused by the lack of data input accuracy and unidirectional curve constraints. Finally, the root mean square error of the real reflector is 0.194 mm, which meets the design index (namely the root mean square error δRMS≤0.35 mm).
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引 言
双弯曲反射面天线在雷达领域得到广泛应用，其传统设计方法是以光学反射定律和能量守恒定律为基础，选择多条具有聚焦特性的条带来构建反射面[1]，使雷达波束满足在水平面内是窄波束、在垂直面内是扇形波束的电磁波反射要求。根据雷达的不同用途和不同性能要求及反射面的几何参数来具体设计中截线及焦点带曲线，再通过焦点带曲线来构造反射面。在理论上焦点带曲线越密，构造的曲面和理论面之间的偏差就越小，反射面的电性能指标就越好，所以曲面建模中焦点带曲线一般达到几百条甚至更多。
关于反射面曲面建模方法和反射面面精度对雷达性能的影响，国内外众多文献都有相关论述。文献[2]讨论了2种双弯曲反射面的建模方法：一是基于逆向工程的“点云方法”，用VB编写一个计算软件，来实现对中截线数据的读取及生成点云数据，坐标xi取值越密，产生的点数越多，拟合的曲线和理论曲线越接近，形成的曲面就越接近理论反射面；二是“基准曲线”方法，通过焦点带方程逐条输入321条曲线，并采用“混合曲线”方式来构建双弯曲反射面。该建模方法存在以下明显缺陷：1）采用“点云方法”需要开发应用软件来计算海量的点数据，再借助专用软件由点云数据拟合成反射面，曲面缺乏编辑性；2）采用“基准曲线法”需要逐条输入众多的曲线，工作量非常大；3）上述2种方法的兼容性和便捷性不足，一旦涉及反射面参数的修改，所有工作都需要重来一遍。
反射面的面精度对雷达电性能影响非常大，如何保证反射面面精度成为行业重点关注的课题。在实际产品设计中发现，现有方法构建的曲面存在加厚受限的问题，表明其局部曲率连续性不足，即构造的反射面部分区域曲面质量很差，但目前还没有详细分析反射面曲面模型精度及优化曲面质量的相关文献。文献[2]也未对双弯曲反射面的曲面曲率及建模误差进行量化分析，而文献[3-9]虽探讨了反射面加工工艺及面精度对雷达性能的影响，并研究了几种解决反射面精度的具体工程手段，但均未提出系统性的曲面建模精度优化方法，尤其是如何通过参数化设计消除数据输入误差和解决曲率不连续的问题。
本文提出了一种基于Creo的参数化阵列设计方法，极其高效地解决了众多焦点带曲线的建模问题，且只需修改中截线Excel数据表及几个参数就能完成模型的修改。同时，通过图形化的曲面曲率分析和反射面曲面精度与理论值偏差的量化分析，揭示了数据输入精度不足及单向曲线约束的建模缺陷，进而提出UV双向曲线约束方法，从根源上解决了曲面曲率不连续及精度差的问题。
1. 基于反射定律的反射面设计
通过赋形的双弯曲反射面天线可以很好地控制需要得到的波束的形状。设计赋形波束双弯曲反射面天线的过程分成2步：1）运用几何光学法设计中截线，使得垂直面内能够产生赋形波束；2）以中截线为“脊骨”，用一系列具有聚焦特性的条带作为“肋骨”装到脊骨上，组成反射面天线的反射面[10]。双弯曲反射面的几何关系如图1所示，其中，O为坐标原点，也是馈源的相位中心，θ，θ1和θ2为反射角，ψ，ψ1和ψ2为入射角，Φ为方位角，ρ，ρ1 和ρ2为中截线矢径，M为通过点P的焦点带L上的一点，点T为M在中截面上的投影点，点A为点M在射线PP′上的投影，P1P1′，MM′和TP2′为射线。
1.1 中截线设计
中截线是指通过馈源相位中心的中垂面与反射面的截线，它将反射面左右对称平分。中截线直接反映反射面在垂直方向的曲率变化，直接影响雷达波次级垂直面辐射方向图的形状。图1（a）为中截线定义的几何图。根据反射定律，中截线矢径ρ=ρ（ψ）可由下面的微分方程来确定：
dρdψ=ρtan(ψ+θ2)⇒∫dρρ=∫(ψ+θ2)dψ⇒lnρ=∫(ψ+θ2)dψ+C1 (1) 式中，C1为常数。
根据天线垂直面次级辐射方向图和馈源辐射方向图确定中截线的基本方法，是利用光学反射定律和能量守恒定律建立微分方程组进行数值求解。设馈源辐射功率方向图为I（ψ），期望的反射面天线俯仰面远区功率方向图为G（θ），对远区观察点而言，仰角为θ的横截面内的所有反射线是平行的。由能量守恒定律可知，俯仰角宽度为dψ、方位角宽度为dΦ的小锥体内的入射功率与反射后含于对应楔形区域内的功率成正比，即：
KI(ψ)dψdΦ=G(θ)ρdΦdθ⇒dθdψ=KI(ψ)ρG(θ) (2) 式中，K为比例系数。
对微分方程（2）取对数得：
lndθdψ=InI(ψ)−Inρ(ψ)−lnG(θ) (3) 对ψ求微商得：
d2θd2ψ=dθdψ[I′(ψ)I(ψ)−1ρ(ψ)dρ(ψ)dψ−G′(θ)G(θ)dθdψ]=[I′(ψ)I(ψ)−tan(ψ+θ2)]dθdψ−G′(θ)G(θ)(dθdψ)2 (4) 整理得二次微分方程：
d2θd2ψ+[tan(ψ+θ2)−I′(ψ)I(ψ)]dθdψ+G′(θ)G(θ)(dθdψ)2=0 (5) 根据天线远场方位图、波束宽度、测量距离等指标要求，确定ψ = ψ1和θ = θ1，ψ = ψ2和θ = θ2。对方程（5）进行数值求解，求出θ = θ（ψ），代入方程（1），得到中截线方程ρ=ρ（ψ）。在一般设计中，先确定ψ1和ψ2，再按一定角度α等分切割角度（ψ2−ψ1），求出中截线上一系列点的值（ψj，θj，ρj）（ψj，θj，ρj分别为第j点的入射角、反射角和矢径），即得到所求所有中截线数据，α越小，中截线数据拟合就越精确。
1.2 焦点带反射面
为使反射面在水平面内产生窄波束，应选择具有聚焦特性的条带组成反射面结构。中截线上每点（ψj，θj，ρj）都有对应的焦点带，每根焦点带属于不同的旋转抛物面，但具有共同的馈源焦点O。射线的几何关系如图1（c）所示。
反射波需要实现等光程传播，几何上需要满足以下条件：
|OP|+|PA|=|OM| (6) 式中：|OP|=ρ；|PA|=|PT|cos(ψ+θ)；
|OM|=√x2+|OT|2；|OT|=ρ−|PT| 求解方程（6），得到方程（7）：
|PT|=ρ1−cos(ψ+θ)[1−√1−x2ρ2tan2(ψ+θ)2] (7) 求得坐标系（x，y，z）下的焦点带方程：
x=xy=ρsin(ψ)−|PT|sin(ψ)z=ρcos(ψ)−|PT|cos(ψ)} (8) 将中截线数据（ψj，θj，ρj）代入焦点带公式（8），就可以求出基于中截线数据的所有焦点带曲线。
2. 快速反射面参数化建模
Creo由美国PTC公司开发，具有强大的计算机辅助设计/工程/制造（Computer-Aided Design/ Computer-Aided Engineering/Computer -Aided Manufacturing，CAD/ CAE /CAM）功能，在工业设计的仿真、优化设计、建模等方面发挥着重要的作用。通过强大的软件功能代替机械设计、设计审阅以及工业设计等环节内的手绘草图，可以将完整的产品设计方案高效快速地设计出来。
Creo创建的特征之间具有相关性，这使得模型成为参数化模型。修改模型中某个特征及参数会直接影响到其他相关特性，即Creo会动态修改那些相关特性[11]。Creo可使用表阵列来阵列特征，通过一个可编辑表或输入表，为阵列的每个实例指定唯一的尺寸，可使用阵列表创建特征或特征组的复杂或不规则阵列，也可为一个阵列建立多个表，这样可通过变换阵列的驱动表来改变阵列。在创建阵列之后，可随时修改阵列表，设计变更非常方便。
为克服传统建模方法的缺点，在“基准曲线法”的基础上将中截线数据参数化，通过Creo的表阵列方法，输入可编辑中截线数据表，再将参数赋值给焦点带曲线方程，通过一个阵列操作就可建立所有焦点带曲线。
2.1 反射面设计参数
某波段雷达天线为双弯曲反射面天线，天线口径为4 500 mm×1 900 mm，天线反射面面精度均方根误差δRMS≤0.35 mm，低波束馈源放置于焦点，入射角ψ1= −4°，ψ2= 60°。在设计中将中截线在60°之间按α = 0.1°的夹角等分，共产生641个中截线数据点。中截线数据见表1。为获得高质量的反射面曲面，α有可能取更小的数值。
表 1 中截线数据序号 ψj /（°） θj /（°） ρj /mm 1 60.0 −13.663 7 1 971.201 6 2 59.9 −13.551 3 1 969.748 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 640 −3.9 33.084 0 1 473.994 4 641 −4.0 33.740 1 1 473.249 1 2.2 表阵列快速建模
在Creo草绘中建立3个点，通过3个草绘点尺寸对中截线参数（ψj，θj，ρj）进行赋值，如图2（a）所示。这个参数值最终通过图2（c）所示的阵列表进行关联赋值。将焦点带公式（8）建立的曲线输入Creo后，采用Creo曲线方程建立曲线，如图2（b）所示，其中的参数（ψj，θj，ρj）和图2（a）中的参数相同，并完成最终表数据的参数输入赋值。由于双弯曲反射面的对称性，可以先做出一半的反射面，再通过镜像方式获得整个反射面，所以t（t=x）的取值范围为（0，2 250）。
将图2（a）建立的点及图2（b）建立的曲线特征合并成组，再对组特征进行表阵列操作，将表1中的中截线数据赋值给图2（a）的3个尺寸数据。这3个尺寸数据通过（ψj，θj，ρj） 参数传递给曲线方程，操作如图2（c）所示。
按数据表阵列建立的完整的641根焦点带曲线如图3（a）所示。后续通过边界曲面、曲面镜像、曲面剪裁等曲面制作方法形成完整的双弯曲反射面天线反射面，如图3（b）所示。双弯曲反射面天线设计一般需要经历多轮迭代，通过上述参数化阵列方法修改设计也非常快速。
3. 高精度反射面建模
在反射面天线设计中，雷达波长较短的反射面天线曲面精度一般要求较高。本雷达反射面天线的反射面精度要求面精度均方根误差δRMS≤0.35 mm。这种高精度反射面天线一般需要借助模具的覆模法加工实现。用覆模法加工出的天线反射面的面精度由材料和模具保证。由于覆模模具的加工以建模的三维模型作为原始输入数据，所以天线反射面本身建模的精度就显得尤其重要，在理论上，最好使模型误差接近零。
3.1 中截线数据精度对模型的影响
在建模中，采用4位中截线数据精度构造焦点带曲线及曲面，发现曲面有明显波浪化缺陷，曲面曲率不够连续，如图4（a）所示。通过分析，鉴于参数传递的曲线方程数据是连续的，造成相邻曲线波浪化的原因可能是数据输入误差及四舍五入造成的误差影响，曲线会在理论位置两侧偏移。在一般建模过程中，输入尺寸精度为0.01 mm，但在米级（1 000 mm）尺寸大小的天线建模中，参数输入误差会达到10 mm （0.01×1 000），所以中截线输入数据精度需要提高到小数点后6位甚至更高，米级尺寸6位输入误差达到0.001 mm （0.000 001×1 000）。将中截线数据精度提高到7位，曲面曲率的连续性得到明显改善，结果如图4（b）所示。
3.2 曲面模型和理论点的位置误差
在设计好的曲面中，需要检测理论点和曲面的距离以判断曲面的质量。若偏差较大，则曲面质量差，需要进行改进调整。通过焦点带公式阵列的曲线建立曲面，测量曲面和理论点的距离，发现部分点的偏差接近0.1mm，曲面精度不满足设计要求，如图5所示。
对曲线上的点进行分析，发现曲线满足精度要求，那么问题就出在曲面建模方法上。前面的曲面建模只使用了焦点带曲线，只约束了单方向，没有使用中截线方向的曲线来加强约束，即没有采用UV方向曲线来构造反射面曲面。以中截线方向为V向，采用一定间隔的xi值，通过焦点公式及中截线赋值，在Excel表中求出xi值对应的一系列坐标点（x，y，z），见表2。再用这些点来拟合曲线，如图6（a）所示。通过增加的若干V向曲线来约束曲面，约束方法如图6（b）所示。
表 2 xi（赋值）对应的坐标点ψj /（°） θj /（°） ρj /mm 弧度（ψj）/rad 弧度（θj）/rad xi/mm y（焦点带公式）/mm z（焦点带公式）/mm −4.000 0 33.740 145 8 1 473.249 083 70 −0.069 813 17 0.588 876 63 0 −102.768 661 0 −1 469.660 322 98 −3.900 0 33.083 885 7 1 473.994 437 70 −0.068 067 84 0.577 422 73 0 −100.254 160 1 −1 470.581 077 58 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 59.900 0 −13.531 312 6 1 969.748 368 50 1.045 452 22 −0.236 165 96 0 1 704.130 599 −987.849 956 31 60.000 0 −13.663 728 6 1 971.201 563 00 1.047 197 55 −0.238 477 05 0 1 707.110 630 −985.600 781 50 通过UV双向约束的曲面的理论测量点和曲面的距离基本为零，设计精度得到极大改善，如图5所示。最终设计完成的曲面还要进行电性能电磁场仿真分析，以判断电磁远近场区域是否满足设计要求，达到要求后就可以进行后续工程设计，否则还需要优化调整。
4. 曲面精度光学测量验证
通过前文设计的双弯曲反射面天线模型，按模具覆模加工反射面天线，还需对最终实物反射面和理论点之间的偏差进行测量来确定反射面的面精度均方根误差是否满足指标要求。先按照一定的间隔粘贴靶标，再通过光学仪器测量靶点的位置坐标，将测得的坐标点和理论点进行比较，得出最终的天线反射面面精度均方根误差，如图7所示。3 299个坐标测量点的误差分析数据见表3。天线反射面面精度在重力载荷下的均方根误差为0.194 mm，满足面精度均方根误差δRMS≤0.35 mm的设计指标要求，这也证明了设计的曲面模型精度满足设计指标要求。
表 3 坐标点误差分析结果mm 偏差类别 x向 y向 z向 整体 最大偏差 0.239 7 0.193 2 0.366 3 0.456 1 最小偏差 −0.263 3 −0.270 6 −0.534 4 −0.602 7 偏差范围 0.503 1 0.463 6 0.900 7 1.058 8 均值 0.000 7 −0.012 7 0.000 3 −0.004 0 δRMS 0.072 2 0.058 7 0.167 3 0.191 4 5. 比较分析及设计流程
5.1 与传统方法的对比分析
与传统建模方法相比，本文方法在效率和精度上具有显著优势，见表4。逆向工程点云法需处理海量数据且缺乏参数化编辑能力，建模耗时约30 h；基准曲线法需逐条输入641条曲线，耗时为20 h，且修改需全部重做。本文方法通过Creo参数化表阵列，仅需4 h即可完成641条曲线的建模，且参数调整时间不足1 h。此外，曲面偏差从传统方法的0.5 mm降至0.001 mm以下，有效支撑了高精度加工需求。
表 4 对比分析对比项 逆向点云法 基准曲线法 本文方法 建模耗时/h 30 20 4 参数修改 重新开始 逐条调整 修改表
（耗时不足1 h ）曲面均方根
误差/mm0.500 0.300 ＜0.001 数据输入
复杂度极高
（海量点云）高
（逐条曲线）低
（表阵列）模型可编辑性 差 中等 优秀 5.2 高精度反射面设计流程
高效率高精度的双弯曲反射面设计流程如图8所示。
6. 结束语
双弯曲反射面天线是雷达天线的一种重要形式，本文针对反射面曲面的建模工作量大、曲面建模方法复杂的问题，提出了一种全新的基于参数化阵列表的建模方法。
利用Creo参数化的曲线阵列手段，通过控制中截线数据表来快速形成众多的焦点带曲线，极大地提高了双弯曲反射面的建模效率，且后续修改也非常方便，针对不同口径的天线，修改几个参数及中截线表就完成了曲面的修改，建模方法的健壮性及兼容性非常好。
严格从工程角度详细研究了曲面精度及造成曲面误差偏大的原因，从提高中截线数据精度及完善曲面建模方法等方面提高曲面建模精度，保证了天线反射面曲面数据的严谨性，有效消除了曲面建模的数据误差，对形成高精度反射面起到了很好的支撑作用。经实物验证，曲面精度达到设计指标要求。
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表 1 中截线数据
序号 ψj /（°） θj /（°） ρj /mm 1 60.0 −13.663 7 1 971.201 6 2 59.9 −13.551 3 1 969.748 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 640 −3.9 33.084 0 1 473.994 4 641 −4.0 33.740 1 1 473.249 1 
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表 2 xi（赋值）对应的坐标点
ψj /（°） θj /（°） ρj /mm 弧度（ψj）/rad 弧度（θj）/rad xi/mm y（焦点带公式）/mm z（焦点带公式）/mm −4.000 0 33.740 145 8 1 473.249 083 70 −0.069 813 17 0.588 876 63 0 −102.768 661 0 −1 469.660 322 98 −3.900 0 33.083 885 7 1 473.994 437 70 −0.068 067 84 0.577 422 73 0 −100.254 160 1 −1 470.581 077 58 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 59.900 0 −13.531 312 6 1 969.748 368 50 1.045 452 22 −0.236 165 96 0 1 704.130 599 −987.849 956 31 60.000 0 −13.663 728 6 1 971.201 563 00 1.047 197 55 −0.238 477 05 0 1 707.110 630 −985.600 781 50
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表 3 坐标点误差分析结果
mm 偏差类别 x向 y向 z向 整体 最大偏差 0.239 7 0.193 2 0.366 3 0.456 1 最小偏差 −0.263 3 −0.270 6 −0.534 4 −0.602 7 偏差范围 0.503 1 0.463 6 0.900 7 1.058 8 均值 0.000 7 −0.012 7 0.000 3 −0.004 0 δRMS 0.072 2 0.058 7 0.167 3 0.191 4
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表 4 对比分析
对比项 逆向点云法 基准曲线法 本文方法 建模耗时/h 30 20 4 参数修改 重新开始 逐条调整 修改表
（耗时不足1 h ）曲面均方根
误差/mm0.500 0.300 ＜0.001 数据输入
复杂度极高
（海量点云）高
（逐条曲线）低
（表阵列）模型可编辑性 差 中等 优秀
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